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GB004:  2次元熱伝導

今度は方程式

における熱伝導率 λ がx方向とy方向で異なる値を持つようなケース、すなわち非等方的（anisotropic）材質の場合について考えることにします。このような場合には熱伝導方程式

を明示的にFlexPDEに入力する必要があります。

右の図は松の柱の断面図を表しています。繊維の向きがy軸方向にあるとすると、この材質はy軸方向には熱が伝わりやすく、x軸方向には伝わりにくいという性質を持つことになります。今、図のPの位置にz軸に沿って（紙面に垂直な方向に）細い電熱線を張り、そこから流束密度が1000の熱が伝わってくるケースを想定します。柱の下部は一定温度 0度Cに保たれているものとし、他の境界は熱的に遮断されているものとします。x軸方向の電導率を kx = 0.14、y軸方向の電導率を ky = 0.35 として熱伝導の様子を解析してみましょう。

基本形は hconduction01a.pde と大きく変わりません。
  TITLE
    'Anisotropic Conduction in Wood'    { hconduction01d.pde }

  SELECT
    Errlim = 1e-4

  VARIABLES
    temp                  { Temperature }

DEFINITIONSセクションでは熱伝導率 kx, ky を定義します。また電熱線の幅を 2w、w = 0.001 と設定します。　
  DEFINITIONS
    L = 0.1  w = 0.001
    kx = 0.14  ky = 0.35  { Thermal conductivity of pine wood }
    heat = 0              { Power per unit volume }
    fluxd_x = -kx*dx(temp)  fluxd_y = -ky*dy(temp) 
                                      { Heat flux density }
    fluxd = vector(fluxd_x, fluxd_y)  fluxd_m = magnitude(fluxd)

偏微分方程式は数式(4)の形で入力します。
  EQUATIONS
    dx(-kx*dx(temp)) + dy(-ky*dy(temp)) = heat

境界条件のうち電熱線の部分については Natural(temp) = -1000 という指定になる点に注意してください。
  BOUNDARIES
    Region 1
      Start 'outer' (-L, -L)
        Value(temp) = 273      Line to (L, -L)
        Natural(temp) = 0      Line to (L, L) to (w, L)
        Natural(temp) = -1000  Line to (-w, L)  { Heater flux }
        Natural(temp) = 0      Line to (-L, L) to Close

PLOTSセクションにおいては電熱線の周囲の等温線図を拡大表示するためにzoom修飾子を使用しています。
  PLOTS
    Grid(x, y)
    Contour(temp)    Surface(temp)
    Contour(temp) painted zoom(-0.1*L, 0.8*L, 0.2*L, 0.2*L)
    Vector(fluxd) norm

  END

(1) Grid(x, y)
メッシュの再構成が2回行われ（Grid#3）、電熱線周囲のメッシュ密度が高いものとなっています。

(2) Contour(temp)
ドメイン全体としての等温線図は次のようになります。 電熱線の近傍では縦方向に長い曲線となっていますが、下辺に近づくにつれほぼ水平なものとなって行きます。

(3) Surface(temp)
温度 T(x, y) の曲面の形状をプロットしたものです。

(4) Contour(temp) painted zoom(-0.1*L, 0.8*L, 0.2*L, 0.2*L)
電熱線の近傍の等温線図を塗りつぶしを施し拡大表示したものです。表示されているのは座標点 (-0.1*L, 0.8*L) より右に0.2*L, 上に0.2*Lの範囲です。

(5) Vector(fluxd) norm
熱流束密度 f のベクトルプロットを示したものです。絶縁壁に沿っては平行な、一方下辺に対しては垂直な流れが表現されています。