Sample Scripts from GB Books
GB008:  2次元静磁場

今度は透磁率が 1000μ₀ の磁石が真空中に置かれているとき、その境界面で磁場ベクトル H, B がどう変化するかについて考察してみましょう。解析対象のドメインとしては右図のような単位円を想定します。これはやや天下り的ですが、外周上で
Az = x + y
という境界条件をベクトルポテンシャル Az に課し、計算を実行することにします。

基本形は magnetics01a.pde と変わりません。
  TITLE
    'Boundary Conditions for H and B'    { magnetics01c.pde }

  SELECT
    Errlim = 1e-5

  VARIABLES
    Az                       { Magnetic vector potential }

偏微分方程式の定義に先立ち、パラメータ類をSI単位系で定義します。μ についてはリージョンごとに値を設定するので、ここでは名称のみを宣言しておきます。
  DEFINITIONS                { SI units }
    r1 = 1.0
    mu0 = 4*PI*1e-7          { Permeability of vacuum }
    mu                       { Permeability }
    Jz = 0                   { Current density }
    B_x = dy(Az)  B_y = -dx(Az)
    B = Vector(B_x, B_y)  Bm = magnitude(B)
                             { Magnetic flux density }
    Hx = B_x/mu  Hy = B_y/mu  H = B/mu  Hm = Bm/mu
                             { Magnetic field strength }

  EQUATIONS
    dx(Hy) - dy(Hx) = Jz     { 2nd order PDE in Az }

境界の形状と境界条件を定義します。なお、パラメータμ についてはリージョンごとに値を設定します。Featureとして定義された境界線はelevationプロット中で使用されます。
  BOUNDARIES
    Region 'domain'  mu = mu0
      Start (-r1, 0) Value(Az) = x + y
        Arc(Center = 0,0) Angle = 360

    Region 'magnet'  mu = 1000*mu0
      Start (-r1, 0) Arc(Center = 0,0) Angle = 180 Line to Close

    Feature
      Start 'interface' (-0.9*r1, 0) Line to (0.9*r1, 0)

最後に出力すべき情報を規定します。
  PLOTS
    Grid(x, y)
    Contour(Hx) painted  Contour(Hy) painted
    Contour(B_x) painted  Contour(B_y) painted
    Elevation(B_x) on 'interface' on Region 'magnet'
    Elevation(B_x) on 'interface' on Region 'domain'
    Elevation(B_y) on 'interface' on Region 'magnet'
    Elevation(B_y) on 'interface' on Region 'domain'

  END

Max Error = 1.386e-5 という実行結果から判断して、境界上で x + y と定義したポテンシャル関数が求める解に対応していることがわかります。

(1) Grid(x, y)
FlexPDEによって生成されたメッシュ構成を示しています。メッシュ再構成は3回行われています。

(2) Contour(Hx) painted
磁場の強度 H のx成分の値に関する等高線図です。磁石の境界面をはさんで連続に変化していることがわかります。

(3) Contour(Hy) painted
磁場の強度 H のｙ成分の値に関する等高線図です。磁石の境界面をはさんで不連続となっています。

(4) Contour(B_x) painted
磁束密度ベクトル B のx成分の値に関する等高線図です。磁石の境界面をはさんで不連続となっています。

(5) Contour(B_y) painted
磁束密度ベクトル B のx成分の値に関する等高線図です。磁石の境界面をはさんで連続に変化していることがわかります。

(6) Elevation(B_x) on 'interface' on Region 'magnet'
'interface'上における Bx の値の変化を磁石側でプロットしたものです。次のプロットと形状はやや似てはいますがスケールは全く異なります。Bx が境界の両側で不連続に変化していることを示すものです。

(7) Elevation(B_x) on 'interface' on Region 'domain'
'interface'上における Bx の値の変化を真空側でプロットしたものです。

(8) Elevation(B_y) on 'interface' on Region 'magnet'
'interface'上における By の値の変化を磁石側でプロットしたものです。次のプロットとの一致が見られ、境界をはさんで By の値が連続的に変化していることを示しています。

(9) Elevation(B_y) on 'interface' on Region 'domain'
'interface'上における By の値の変化を真空側でプロットしたものです。