分位点線形ARDLモデルを推定する

Cho、Kim、and Shin（2015）によって提唱された分位点自己回帰分布ラグ（QARDL）モデルは、従属変数の条件付き分位点（パーセンタイル）の動きを捉えるために、従来のARDLモデルを改良したものです。従来のモデルは、予測変数の変化に対する従属変数の平均的な反応に関する洞察を提供しますが、QARDLモデルは、予測変数の変化が従属変数の分位点に及ぼす影響をモデル化します。

QARDLモデルの概要
推定ダイアログ
例題

QARDLモデルの概要

従来のモデルは、予測変数の変化に対する従属変数の平均的な反応に関する洞察を提供しますが、QARDLモデルは、予測変数の変化が従属変数の分位点に及ぼす影響をモデル化します。分位点に焦点を当てることで、予測変数と従属変数の関係について、より深い洞察が得られる可能性があります。
従来のARDLモデルでは、 $x_{t}$の増加が$y_{t}$の平均増加につながると示唆されるかもしれませんが、QARDLモデルでは、増加は高パーセンタイルでより顕著であり、低パーセンタイルでは抑制されていることが明らかになるかもしれません。このような詳細な分析は、ショックや政策変更の影響が分布のさまざまなセグメントで異なる可能性があるシナリオにおいて、非常に貴重です。
同様に、所得水準に関する経済政策の研究では、特定の政策が高所得層（高分位）に低所得層（低分位）よりも不均衡に大きな利益をもたらすこと、あるいはその逆のことがしばしば示唆されます。同様に、リスクを評価する金融市場は、極端な行動に関心を持つことが多く、私たちは極端な分位（例えば、第1パーセンタイルや第99パーセンタイル）を用いてモデル化することができます。
QARDLは、$y_{t}$の条件付き分位点$\tau$について \[ Q_{y_{t}|x_{t}}(\tau) = \sum_{j=1}^{p}\psi_{j}(\tau)y_{t-j} + \sum_{r=1}^{k}\sum_{j=0}^{p_{r}}\beta_{r,j}(\tau)x_{r,t-j}+\sum_{s=1}^{m}\alpha_{s}(\tau)d_{s,t} \]
残差は、 \[ \epsilon_{t}(\tau)=y_{t}-Q_{y_{t}|x_{t}}(\tau) \]
QARDL推定量は、 \[ \hat{\xi}=argmin_{\xi(\tau)}{{\sum_{t}\rho_{\tau}(y_{i}-Q_{y_{t}|x_{t}}(\tau))} } \] $\xi(\tau)={\psi(\tau),\beta(\tau),\alpha(\tau)}$かつ$\rho_{\tau}(u)=u(\tau-1(u<0))$はいわゆるチェック機能とは、正の値と負の値を非対称に重み付けする機能のことです。

ダイアログボックス

操作方法

線形および非線形ARDLモデルは、最小二乗法（またはQARDLの変形版の場合は分位点回帰）などの一般的なツールを用いて推定できますが、EViewsは推定のためのネイティブなインターフェースを提供しています。
EViewsのメインメニューから、Quick/Estimation Equation...をクリックして方程式ダイアログを開くか、Object/New Object...をクリックしてEquationを選択し、Estimateボタンをクリックします。
方程式ダイアログが開いたら、MethodドロップダウンからARDL – Autoregressive lag distributedを選択します。
ダイアログはデフォルトで、古典的なARDL推定フレームワーク、すなわち最小二乗法を選択していますが、QARDLでは、Estimation specificationのMethodドロップダウンメニューからQuantileを選択してください。Quantile to estimateボックスで目的の分位値を入力します。
Linear dynamic specificationでは、従属変数に続いて対称（分布ラグ）回帰変数を指定します。

Asymmetric dynamic specificationsでは、非対称回帰変数を指定できます。非対称解析変数については、こちらをご覧ください。
Lag selectionセクションは従属変数ラグ$p$と回帰変数ラグ$p_{r}$を設定します。
- Automatic selectionを選択すると、EViewsがラグ値を自動的に選択します。Pesaran, Shin, and Smith（PSS 2001）の提案に従い、ラグ構造は標準的なモデル選択基準を用いて選択されます。従属変数と回帰変数について、考慮する最大ラグ数をMax lagsドロップダウンメニューで入力します。
  モデル選択基準はOptionsタブで変更できます。デフォルト設定はAICです。
- あるいは、EViewsに任意の固定ラグを使用するように指示することもできます。Fixed selectionを選択し、従属変数と回帰変数のラグ数を入力してください。回帰変数のラグ数は、すべての変数に対して指定した値に設定されます。

実践

従属変数をLOG(REALCONS)、説明変数をLOG(REALGDP)としてQARDLモデルを推定します

NARDLモデルの推定と検定

ここでは、古典的な（対称的な）ARDLモデルを例示します。被説明変数として実質消費の対数を用い、説明変数として実質GDPの対数（定数項も含む）を1つ用います。データセットはこちらからダウンロードまたは、以下のEViewsコマンドで開くことができます。
wfopen "c:\program files\eviews 14\example files\ev14 manual data\chapter 29 - linear and nonlinear ardl\ardl_ex.wf1"
EViewsメインメニューでQuick > Estimate Equation...と操作します。MethodドロップダウンからARDL – Autoregressive lag distributedを選択します。
今回はQARDLモデルを推定するので、Estimation specificationグループのMethodドロップダウンメニューからQuantileを選択します。今回は、分位点の値はデフォルト値の0.5（中央値）のままにします。Lag selectionグループで、従属変数と独立変数のラグをAuto selectionにし、候補をそれぞれ4として、OKをクリックします
推定結果は次のようになります。

アウトプットは、古典的なARDLモデルと類似しています。さらに、結果表の上にある要約には、分位点推定に関連する追加情報（例えば、スパース性や帯域幅など）が表示されます。
従属変数の１期ラグの係数は$0.98$と高く、$p$値も有意であることがわかります。独立変数log(realgdp)の係数は$0.53$、その１期のラグは$-0.52$であり、いずれも有意です。
View/Model selection/criteria Graphと操作しモデル選択の過程を確認できます。

グラフからは、ARDL(2,2)からARDL(1,4)までのモデルにおいて、AICがほぼ変わらないことがわかります。
View/ARDL Diagnostics/Error correction Resultsを選択すると、推定値のCEC形式とEC形式を確認できます。EViewsは、条件付き誤差修正回帰結果と誤差修正結果を示す2つの表を含むスプール形式で長期出力を表示します。最初の表には、CEC形式の推定結果が表示されます。

Error correctionノードをクリックすると表示されるECの結果は、調整係数の速度が負（$-0.64$）であり、統計的に有意であることを示しています。
View/ARDL Diagnostics/Cointegrating relationsと操作し、共和分関係の係数を確認できます。
推定後、共和分関係の境界検定を実行するには、View/ARDL Diagnostics/Bound Testをクリックして共和分関係のビューを表示します。

境界統計量$F$は$10.86$です。これを2番目の表に示されている臨界値と比較してみましょう。明らかに、この統計量はすべての有意水準において$I(1)$境界臨界値よりも大きくなっています。したがって、水準間の関係がないという帰無仮説を棄却し、LOG(REALGDP)とLOG(REALCONS)は共和分関係にあると結論付けます。
誤差修正分位点プロセスを視覚化します。View/ARDL Diagnostics/Quantile Error-Correction Results Process....をクリックしてください。するとダイアログが表示され、そこでプロセスを導出する際に考慮する分位点を指定できます。

Specificationタブはデフォルト設定のままにしておくと、等間隔の10個の分位値に基づいて処理が実行されます。
あるいは、特定の分位値のセットが必要な場合は、User-specified quantilesをクリックし、テキストボックスにスペース区切りのリストを入力することで指定できます。処理結果（分位点、係数、共分散）をワークファイルに書き込む場合は、Outputタブをクリックし、分位点ベクトル、係数行列、共分散行列の出力名を指定します。
このビューでは、CEC形式とEC形式の両方の処理結果が生成されることに注意してください。係数行列と共分散行列の出力名には、自動的に接尾辞（「_CEC」または「_EC」）が付加されます。
ここでのデフォルト出力は、CECフォームに関連付けられた係数の分位過程のグラフです。
ECフォームの係数の分位プロセスを表示するには、左側のナビゲーションツリーにあるSummary: Error-Correction Processノードの下にあるProcess plotノードをクリックします。
必要に応じて、これらのグラフを表形式で表示することもできます。左側のナビゲーションツリーにあるProcess Tableノードをクリックしてください。

特定の分位値におけるCECまたはEC推定テーブルを確認したい場合は、ナビゲーションツリーで該当する分位値$\tau$の親ノードの下にあるConditional Error CorrectionまたはError Correctionノードをクリックしてください。
共和分関係に関連付けられた分位プロセスについても同様の結果を出力できます。そのためには、View/ARDL Diagnostics/Quantile Cointegration Processを選択してください。分位誤差修正プロセスと同様のダイアログが表示されます。ここではデフォルト設定のままにし、OKをクリックしてください。
出力されるのは、各分位値における共和分関係の系列が単一のグラフ上に重ねて表示されたものです。対応する表を生成したり、各分位値におけるプロセス係数とグラフを表示したりするオプションも用意されています。

グラフの代わりに表形式で確認したい場合は、ナビゲーションツリーのSummaryノードの下にあるProcess Tableノードをクリックしてください。

あるいは、特定の分位値における仕様、長期係数、または共和分関係のプロットを確認することもできます。ナビゲーションツリーで、該当する分位値$\tau$の親ノードの下にあるSpecification、Coefficient、Plotのいずれかのノードをクリックしてください

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